分形维数，分形数学

关于IFS系统，还有一个分支——分形火焰算法（The Fractal Flame Algorithm）。我不太明白这一点。我就标记在这里，以后有时间再补上~。这说明欧几里得几何只是客观世界的近似反映，而分形几何加深了这种认识。因此，分形几何是描述各种复杂自然曲线的自然几何。

因此，直到两个世纪后，卡尔维尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）于1872年7月18日在普鲁士皇家科学院首次给出了分形的定义：分形是具有反直觉性质的函数图。后来，曼德尔布罗特将分形的概念从理论分形维数扩展到自然界中的几何图形。

1、分形虎钳

不同研究领域的学者表示，如果没有现代计算机图形学的帮助，仅仅依靠早期研究人员手工绘制图形是不可能可视化美丽的图形并发现图形中包含的信息的。由于在寻找分形的精确定义时遇到困难，一些人认为根本不应该严格定义分形。

2、分形艺术

在数学中，分形是欧几里得空间的子集，其分形维数远大于切赫-勒贝格拓扑维数（也称为覆盖维数）。在Mandelbrot发表的一篇描述几何分形的文章中，经常引用分形的描述：一个粗糙的或破碎的几何形状，可以分为几个部分，每个部分（至少粗略地）都是整体的较小版本；这个定义有助于我们理解分形，但它也有局限性。

3、分形与混沌理论

分形的历史可以追溯到主要理论的研究及其在现代计算机图形学中的应用，在此期间，几位著名人物对典型分形形式的研究做出了贡献。准自相似性：在不同尺度下具有大致相同的形状；可能包含完整分形的扭曲和退化的缩减副本；例如，Mandelbrot集的卫星集（即卫星集）与整个集合相似，但它不是整个集合的精确副本。

4、分形工艺机箱

19世纪末，菲利克斯克莱因（Felix Klein）和亨利庞加莱（Henri Poincar）也提出了逆分形（分形的一种）。奇异吸引子：初始微分或差分方程组的解，使用图的迭代来表示混沌（例如，参见多重分形图像或逻辑图）。由逃逸时间公式的一到两次迭代产生的二维矢量场，当点（或像素数据）重复通过该场时，也会产生分形形式。

伯努瓦曼德尔布罗特(Benoit Mandelbrot) 的研究让世界对分形有了更深入的了解，分形是研究自然和人类作品中粗糙度的广泛而强大的工具。然而，分形几何否定了区分事物大小和持续时间的绝对尺度，指出对于自然界中的某些现象，寻求特征尺度是没有意义的。

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